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科目名 解析学6 
担当者氏名

日比野 正樹

全開講対象学科 理工学部数学科
年次 3年次 
クラス  
講義学期 後期 
単位数
必選区分  
学期・曜日・時限  
部門 専門教育部門-数学専門教育科目 
備考 本授業はCP2およびDP2に該当する 



準備学習・事後学習
微分積分、線形代数を、しっかり復習しておいてください。

配布された資料を、毎回の講義の予習の際に活用してください(2時間程度)。

毎回の講義後に課される課題には必ず取り組むようにしてください(2時間程度)。

課題の解説については、講義内で行ないます。

定期試験の解説については、必要に応じて研究室で対応します。 
履修上の留意
「微分積分1」「微分積分2」「微分積分3」「微分積分4」「線形代数1」「線形代数2」「線形代数3」「線形代数4」「数学序論1」「数学序論2」「解析学1」の内容を身につけていることが望ましいです。

学内・学外の行事で事前に欠席することが分かっている場合は、前もって担当教員にその旨を伝えてください。

病欠のときは、課題提出締切日の前にその旨を担当教員に伝えてください。その際、診断書等を提示してください。 
授業の概要と目的
これまでの微分方程式の講義では、厳密な議論をしないで方程式を解くことに重点を置いてきました。この講義では、これまでの講義で解いてきた方程式が「なぜ解けるのか」という問いに対する数学的な回答(証明)を与えることを目標とします。この問いに答えるためには微分積分の基本事項を身に付けている必要があるので、前半はそれらの復習をしながら論理的にものを考える訓練をします。その途中で、高等学校の教科書に証明無しで載せられている定理:「有界閉区間上の連続関数には最大値・最小値が存在する」の証明も通過します。そして前半で身に付けた武器を使って、後半では単独1階線型常微分方程式(本当はもう少し難しい方程式も扱えるとよいですが)に対する解の存在と一意性(最初の問いに対する答え)を証明します。(科目ナンバリングコード:SS31114) 
サブタイトル
微分方程式を通した解析学入門 
到達目標
実数の完備性の証明が理解できる。

有界閉区間上の連続関数に対する最大値・最小値の存在定理の証明が理解できる。

単独の1階線型常微分方程式の初期値問題に対する解の存在と一意性が証明できる。 
授業計画
【項目欄】 【内容欄】
1. 序論  授業内容の説明 
2. 解析学の基本事項(1)  最大数・最小数

上限・下限

上限公理 
3. 解析学の基本事項(2)  アルキメデスの原理

有理数の稠密性 
4. 解析学の基本事項(3)  実数列の収束・発散

有界単調数列の収束 
5. 解析学の基本事項(4)  区間縮小法

ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理 
6. 解析学の基本事項(5)  コーシー列

実数の完備性

数級数の収束条件 
7. 連続関数(1)  定義と基本的性質 
8. 連続関数(2)  最大値・最小値の存在定理 
9. 関数列・関数項級数の収束(1)  各点収束と一様収束

一様コーシー条件 
10. 関数列・関数項級数の収束(2)  連続関数列の一様収束極限

積分と極限の順序交換 
11. 関数列・関数項級数の収束(3)  ワイエルシュトラスの判定法 
12. 単独1階線型常微分方程式(1)  積分方程式への変換 
13. 単独1階線型常微分方程式(2)  解の存在 
14. 単独1階線型常微分方程式(3)  解の一意性 
15. 講義のまとめ  これまでに学んだ授業の内容を総括する。 
テキスト
【書籍名】 【著者】 【出版社】
1. 資料を配布する。     
参考文献
【書籍名】 【著者】 【出版社】
1. 解析学の基礎  鈴木 紀明  学術図書出版社 
2. 新版 微分方程式入門  古屋 茂  サイエンス社 
3. 微分方程式講義  金子 晃  サイエンス社 
授業方法の形式
講義 
成績評価方法及び評価基準
課題(30%)

試験(70%)

課題の提出率が70%未満だと『欠格』になります。

平常点については、講義への参加状況で判断します。 
受講生へのメッセージ
3年後期ということで、受講生に要求される到達レベルも非常に高いものになります。

この講義は講義時間のほとんどが「証明」に費やされ、その証明も講義を1回聴いただけで理解できるようなものではありません。証明の理解のためには相当な自習時間が必要であり、それだけの試練を受け入れる覚悟が無い人は耐えられないと思います。高度な論理的思考能力が身につくよう努力し、数学力をさらに高めていってください。 
参考URL
画像
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更新日時 2020/02/26 11:02


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